Penyelesaian dengan Metode Invers Matriks

Sistem Persamaan Linier

Pengertian Dasar Sistem persamaan linear adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan yang memiliki variabel yang sama. Tujuannya adalah mencari nilai variabel-variabel tersebut sehingga semua persamaan dalam sistem tersebut terpenuhi. Sifat Persamaan Linear Ada beberapa sifat-sifat yang dimiliki oleh persamaan linear, yaitu sebagai berikut:

  • Penjumlahan dan pengurangan bilangan kedua ruas tak akan mengubah persamaan nilai.

  • Perkalian dan pembagian bilangan kedua ruas tidak mengubah nilai persamaan

  • Nilai persamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama.

  • Suatu persamaan jika dipindah ruas maka penjumlahan berubah jadi pengurangan, perkalian berubah menjadi Pembagian, dan sebaliknya.

  1. Persamaan Linear Satu Variabel Sesuai dengan namanya, persamaan linear satu variabel hanya berisi satu variabel berangka 1 yang berbentuk kalimat terbuka dengan dihubungkan tanda =.

  2. Persamaan Dua Variabel Linier Sesuai dengan namanya , Persamaan Linear Dua Variabel merupakan sistem persamaan dengan variabel yang berisi dua dengan tingkat 1. Persamaan Linear Dua Variabel menggunakan relasi = dan tidak ada perkalian variabel di setiap persamaan.

  3. Persamaan Linear Tiga Variabel Persamaan linear tiga variabel merupakan bentuk perluasan dari persamaan linear dua variabel. Sama seperti persamaan dua variabel linier, persamaan ini juga dapat diselesaikan dengan dua metode, yaitu substitusi dan eliminasi.

Berikut adalah penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan metode eliminasi Gauss dengan format yang lebih rapi dan mudah dipahami.

1. Kasus Satu Solusi (Solusi Unik)

Diketahui sistem persamaan:

\[\begin{split} \begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x + 3y + z &= 14 \\ y + 2z &= 8 \end{aligned} \end{split}\]

Konversi ke matriks augmented:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 14 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah-langkah Eliminasi Gauss:

  1. Eliminasi elemen di bawah pivot pertama ( x ):

    • Baris 2 → Baris 2 - 2(Baris 1)

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{bmatrix} \end{split}\]

  1. Eliminasi elemen di bawah pivot kedua (( y )):

    • Baris 3 → Baris 3 - Baris 2

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{bmatrix} \end{split}\]

  1. Substitusi balik:

    • Dari baris ketiga: \(( 3z = 6 \Rightarrow z = 2 )\)

    • Dari baris kedua: \(( y - 2 = 2 \Rightarrow y = 4 )\)

    • Dari baris pertama: \(( x + 4 + 2 = 6 \Rightarrow x = 0 )\)

Hasil:

(x, y, z) = (0, 4, 2)

2. Kasus Tak Hingga Solusi

Diketahui sistem persamaan:

\[\begin{split} \begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x + 2y + 2z &= 12 \\ 3x + 3y + 3z &= 18 \end{aligned} \end{split}\]

Konversi ke matriks augmented:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 2 & 2 & 12 \\ 3 & 3 & 3 & 18 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah-langkah Eliminasi Gauss:

  1. Eliminasi elemen di bawah pivot pertama:

    • Baris 2 → Baris 2 - 2(Baris 1)

    • Baris 3 → Baris 3 - 3(Baris 1)

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{split}\]

Karena ada baris nol sepenuhnya, sistem ini memiliki tak hingga banyak solusi.

  1. Penyelesaian dalam bentuk parameter:

    • Misalkan \(( z = t )\) (variabel bebas)

    • Dari baris pertama: \(( x + y + t = 6 \Rightarrow x + y = 6 - t )\)

    • Misalkan \(( y = s ), maka ( x = 6 - s - t )\)

Hasil (dalam bentuk parameter):

\[ (x, y, z) = (6 - s - t, s, t), \quad s, t \in \mathbb{R} \]

3. Kasus Tanpa Solusi

Diketahui sistem persamaan:

\[\begin{split} \begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x + 3y + z &= 14 \\ x + y + z &= 8 \end{aligned} \end{split}\]

Konversi ke matriks augmented:

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 14 \\ 1 & 1 & 1 & 8 \end{bmatrix} \end{split}\]

Langkah-langkah Eliminasi Gauss:

  1. Eliminasi elemen di bawah pivot pertama:

    • Baris 3 → Baris 3 - Baris 1

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \end{split}\]

Baris ketiga menyatakan 0 = 2, yang merupakan kontradiksi.

Kesimpulan:
Sistem ini tidak memiliki solusi.

Ringkasan Hasil

Jenis Solusi

Bentuk Matriks Setelah Eliminasi

Kesimpulan

Satu Solusi

Pivot di setiap kolom variabel, tanpa kontradiksi

( (x, y, z) )unik

Tak Hingga Solusi

Baris nol sepenuhnya, ada variabel bebas

Solusi berbentuk parameter

Tanpa Solusi

Baris dengan ( 0 = c ) (c tidak sama dengan 0)

Tidak ada solusi

Metode eliminasi Gauss memudahkan kita dalam mengidentifikasi jenis solusi berdasarkan bentuk matriks setelah eliminasi.

1.Solusi Tunggal https://www.geogebra.org/calculator/deekkbx3

2.Banyak Solusi https://www.geogebra.org/calculator/dnxnd3nh

3.Tanpa Solusi https://www.geogebra.org/calculator/rgjww8f

Penyelesaian dengan Metode Invers Matriks#

Diberikan sistem persamaan linear:

\[\begin{split} \begin{aligned} x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 1 \\ 4x_1 - x_2 + 2x_3 &= 4 \\ 5x_1 + 3x_2 - x_3 &= 5 \end{aligned} \end{split}\]

Kita tuliskan dalam bentuk matriks:

\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]

dengan:

\[\begin{split} A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 2 \\ 5 & 3 & -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \end{split}\]

Karena \(( A )\) memiliki invers, kita dapat mencari solusi dengan:

\[ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \]

1. Mencari Invers Matriks \(( A )\)#

Kita hitung invers dari \(( A )\):

\[\begin{split} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa solusi sistem persamaan adalah:

\[ x_1 = 1, \quad x_2 \approx -8.33 \times 10^{-17}, \quad x_3 \approx -2.78 \times 10^{-17} \]

Nilai \(( x_2 )\) dan \(( x_3 )\) sangat kecil (mendekati nol), yang kemungkinan besar disebabkan oleh kesalahan pembulatan dalam perhitungan numerik. Jadi, solusi akhirnya adalah:

\[ (x_1, x_2, x_3) = (1, 0, 0) \]

Kesimpulan#

Sistem persamaan ini memiliki solusi unik:

\[\begin{split} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{split}\]
Contents